函数与方程思想在中学数学中的应用

体会到数学与现实生活是密不可分的，体会函数方程是从现实到生活的一个提炼过程，是用数学符号提炼现实生活中含有的特定关系的过程[3]。

教师在设计课堂教学中，应在解决实际问题渗透函数与方程思想或以开放题为载体渗透函数与方程思想，让学生经历探索的曲折情节，学会分析问题和创造性地解决问题，让学生亲身体验创造性思维活动中实践和应用到的函数与方程思想。

3    函数与方程思想在中学数学中常用的基本类型

在运用函数与方程思想解题时，需要将字母看作变量，将代数式看作函数，利用函数的性质进行分析。或者将一个等式看作某一个未知数的方程，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题归为函数问题。对不等式问题和某些实际问题，要善于从函数的角度观察，用函数思想解答非函数问题，要根据问题条件，联系或挖掘所涉及的数学知识，找到等量关系（或某种不等量关系）建立方程或方程组，或方程与不等式的混合组并进行求解。

应用函数与方程思想处理不等式问题时，关键在于构造一个适当的函数和运用恰当的方程理论，弄清楚函数、方程及不等式的内在联系，树立相互转化的观点。

例1：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的两个根满足。

（1）当x∈（0，x1）时，证明：x<f（x）<x1。

（2）设函数f（x）的图像关于直线x=x0对称，证明。

分析：本例是有一定难度的代数推理题，审题中要细心分清函数f（x）与方程方程f（x）-x=0是两个不同的条件，x=x0是函数f（x）的对称轴，x1，x2则是方程f（x）-x=0的根，两者之间的联系通过a，b，c隐蔽地给出，因而充分利用二次函数的性质，引进辅助函数g（x）=f（x）-x，凸现已知条件的联系，是解题的关键。

证明：（1）令g（x）=f（x）-x，因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，所以不妨设g（x）=a（x-x1）（x-x2），当x∈（0，a1）时，由于x1<x2，所以有（x-x1）（x-x2）>0

又a>0，所以有g（x）=a（x-x1）（x-x2）>0，即x<f（x）

而x1-f（x）=x1-x+x-f（x）=x1-x-g（x）=x1-x-a（x-x1）（x-x2）=（x1-x）[1+a（x-x2）]

（2）由题意知，

解析：本题运用了方程思想与二次函数的联系，从二次方程根的研究，应注意从代数形式与几何意义两方面进行，并相互联系，促进深化，代数形式上应全面考虑根的判别式方面，根与系数的关系（韦达定理）与求根公式。几何意义上应全面考查抛物线的顶点、张口方向，对称轴，单调区间及实根分布的充要条件。另外，对于对数方程等的解的情况研究适宜于转化为二次方程的实根分布解决。

4    函数与方程思想应用时的注意事项

在运用函数与方程思想解题时，要注意以下几点。

（1）要重视基础知识和基本技能的培养和训练，深刻理解集合、函数、反函数等相关概念。

（2）要熟练讨论函数性质（如单调性、奇偶性、周期性、极值等），掌握函数图像特征的分析（如范围、截距、凹凸性、渐近线、变化趋势等），函数图像的变换（平移变换、对称变换、伸缩变换等），特别是要掌握与研究函数性质有关的数学知识（如向量的平移、函数的导数等）。

（3）要能将函数、方程与不等式有机结合起来，相互转化，能用集合的语言加以表述，用参数的工具来体现运动变化，用高等数学的观点来解决问题。

（4）要充分运用数学建模的思想，从数学的角度发现问题、提出问题并进行探索与研究，培养实践能力和增强创新意识。

[参考文献]

[1]徐有标，刘治平.高考中的数学思想方法[M].北京：化学工业出版社，2003.

[2]赵冰玉.高中函数教学的研究[D].大连：辽宁师范大学，2006.

[3]杜志建.中学教材学习讲义—高中数学必修1[M].汕头：汕头大学出版社，2010.

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