摘 要：在非线性优化问题中，一般假定设计变量为连续量。在许多情况下，这是一个有效的假设。然而，通常的整数变量离散变量出现在工程设计。这些类型的变量的例子是齿轮的齿数，一个齿轮模块的价值，规格冷轧钢构件，在桁架杆数、轴和其他零件的公称尺寸，弹簧的圈数，在一个结构中的螺丝或铆钉数量，离散和连续变量的整数变量随着添加的优化问题越来越复杂。由于这种情况经常发生在工程设计中，解决这类问题的有效方法在优化机械设计中有着重要的应用。概念设计优化问题可以用一种称为“0-1变量”的整数变量（通常称为“二进制”变量）来解决，该变量可以取零或一个值，顾名思义。每当有一个选择，从一个列表的替代品，零个变量可以用来选择最好的选择。关于零变量使用的更多细节将在后面讨论。
关键词：机械设计；非线性优化；二进制；创新
DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.14.033
1 已有方法的优缺点
在线性最优化领域，已经发展了求解整数和离散问题的方法。然而，在非线性优化问题中，没有这样的平行可绘制。最初的方法是假设所有变量都是连续的，然后将结果上下转换为最接近的整数或离散值。然而，这种方法常常导致不正确的结果。在非线性混合离散整数连续编程领域，Gisvold 和 Moe于1972年开发了一种通过修改的罚函数方法的非线性混合整数规划问题的方法。在这里，离散的要求作为明确的约束和目标函数构造惩罚偏离离散值。该方法的难点在于罚参数难以设定先验值，所得解依赖于初始罚参数的选取。
混合离散规划问题，Cha 和 Mayne于1988提出了一个很有前途的耦合的序列二次规划法（SQP）具有局部搜索策略的方法。连续SQP算法在最优解附近快速地进行搜索，而基于目标梯度信息的局部搜索则是该领域内的最佳离散解。Fox和Bonnie Liebman于1981年用“复杂”的算法来求解整数/离散规划问题。对十五个问题的数值试验表明，该方法比离散罚算法和连续最小舍入算法有更好的结果。然而，这种方法的缺点是收敛性不确定，即使收敛，也不能保证解是全局最优点。
2 零变量决策树
零变量在设计变量的决策树是一个不错的选择。通过这种方法，我们可以研究不同的定性替代方案。例如，这些变量可以用来决定从一个替代材料列表中确定某一特定组件所需的材料。101个变量被分配到每一个备选方案中，对应于所选材料的变量被赋予一个“1”的值，而另一个被赋值为“0”，这些零个变量必须和一个变量相加，这样只有一个变量能达到一个变量的值。在数学上，涉及零个变量x的最优化问题可以用公式表。需要注意，在严格的数学意义上，获得的解决方案可能不是“最优”，因为最优性还没有被证明。可以说，所得到的结果是用这种停止方法使用的最好的结果。将该方法与其他方法所得结果进行比较，初始惩罚参数的选取与最终结果相比没有影响。
3 增广拉格朗日乘子法
最佳的增广拉格朗日乘子法可能得到更好的结果。百分比错误已减至几乎为零。圆柱形压力容器两端由半球形封头覆盖。总成本，包括材料成本，成型和焊接成本，是尽量减少。设计变量为TS和TH，壳和头的厚度，R和L，圆柱截面的内半径和长度。变量是0和l是连续的。
基于增广拉格朗日乘子法的主要优点之一是，启动惩罚值大大降低。此前，产生的结果是非常依赖于初始罚参数值，这是一个重大的缺点，因为每个从刑罚价值导致了不同的结果。例如，在轮系设计问题中，所使用的值是：（0.01，0.001，0.005，0.0001，0.0005，0.00001）。选择初始惩罚参数的唯一标准是，它应该被选择为一个低值并且逐渐增加。这样做的原因是，当我们增加起始惩罚参数值时，增强的目标函数将有更多的“凸点”。当这些“碰撞”的大小由于惩罚参数的较大值而增加时，搜索趋向于“下降”到最近的局部极小值。由于搜索很难从局部极小值中提取出来，搜索往往陷入这一点，使得真正的离散优化的位置非常困难。增加罚参数的乘法系数应取1和2之间。这将确保惩罚参数逐渐增加。如果乘法因子太高，上述凸块的大小以非常快的速度增加，因此到达离散最优变得非常困难。此外，在某些情况下，如果乘法因子过高，则搜索收敛到局部最优。这是因为同样的原因，为什么起始惩罚值不应该很高。即使初始惩罚值很小，如果乘法因子非常高，凸块的大小以极大的速度增长，使得搜索陷入局部最优。在案例研究中，乘法系数的取值应该介于1和2之间。在常见的工程设计优化问题中，约束往往差别很大。因此，一些约束占主导地位。优化过程中将所有约束乘以相同的惩罚参数会导致数值病态。除了一个案例研究问题外，所有这些都被观察到。因此，必须限制这些。约束的比例因子作为目标函数的梯度与起始点约束的梯度之比。这个简单的步骤在很大程度上改善了问题的收敛性。
4 小结
用增广拉格朗日乘子法求解混合离散整数连续优化问题的方法是非常有效和准确的。甚至可以将问题精确地解决。增强拉格朗日乘子法中的迭代需要很小的存储空间，因为没有什么需要存储在内存中以供以后使用。增广拉格朗日乘子法结合零阶搜索被认为是非常快的寻找方法。
由于采用有限差分技术来逼近导数，一阶搜索法在离散最优解的求解上存在相当大的问题。然而，在一些较小的问题中，导数被解析地发现，所以一阶方法是非常有用的或这些问题。对于大尺寸问题，导数的分析测定通常是不可行的，因此不推薦一阶方法。零阶的搜索方法，成功找到解决所有的案例研究。焊接梁问题是一个很好的例子，它可以用来解决单变量概念设计优化问题。
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作者简介：申永红（1974-），男，山西洪洞人，本科，讲师，研究方向：机械设计与制造。