基于Zipf定律和分形理论的碳储量分布研究

介绍

1.1 分形理论

分形理论（Fractal theory）是现代非线性科学中的一个重要分支，是科学研究中一种重要的数学工具和手段。1967年，Mandelbrot首次创造性地阐述了分形理论，它可以定量表达自然界中传统欧式几何学不能描述的复杂而有规则的几何现象，揭示非线性系统中有序和无序的统一、确定性和随机性的统一问题，为人们认识和分析复杂性问题提供了新的方法。经过众多研究者的修正，分形得以有了较为全面而恰当的定义[10-13]。而分形维数（Fractal dimension）则是描述分形的重要参数，能够反映分形的基本特征，用数学模型表述为：

N（r）～r-D （1）

模型中，r为尺度；N（r）为被量度客体的数目；D为分形维数。分形理论经过几十年的发展，现已被广泛应用于生物学、物理学、化学、气象学、地质学、计算机图形学、材料学、经济学等自然科学和社会科学研究中，成为当今国际上许多学科的前沿研究领域之一[14]。目前，分形理论在林业科学中的应用主要有森林生态系统土壤分形特征研究、森林气候时空分布的分形特征研究、森林火灾的分形模拟、森林植被空间格局的分形研究、树木结构特征的分形模拟、木材构造及其生理特征分形研究、植物形态结构及其动态变化的分形模拟以及林业遥感图像的纹理分析等方面[9，10]。

1.2 Zipf定律

在认识自然资源数量的分布形态及其表现实质时，Zipf定律给研究者提供了一种思考的途径和一类精巧的模式。美国哈佛大学教授吉弗于1949年出版的《人类行为与最小努力原则》一书全面阐述了Zipf定律的内容。该定律针对空间地域分布中的非连续现象（即离散分布现象），从诸如等级-大小或秩位-规模等的关系中揭示出了一条值得重视的结论[15]。Zipf定律可以用数学模型表述为：

lnP（k）=-qlnk+lnP1 （2）

模型中，k为某个体在系统中的等级，即位序；P（k）为等级k的个体规模；P1为等级首位的规模；q为参数（Zipf维数），且q×D=R2[6，15]，R2为拟合出的式（2）的决定系数。Zipf维数具有明确的分维意义，揭示了等级-大小等关系的分形结构特征。目前，Zipf定律已经被广泛地应用到城市、经济、生态、海洋、旅游等许多领域。杨国良等[16]用zipf定律对四川省入境旅游流规模结构的研究结果表明，zipf定律、差异度、均衡度指标均可作为旅游流规模结构分析的有效手段或工具。谈明洪等[15]对Zipf维数和城市规模分布的分维值的关系进行了探讨。但zipf定律在林业科学领域中的应用较少，刘羿等[6]用zipf定律对全国森林资源规模分布情况的研究是一次很好的尝试。

2 材料与方法

2.1 研究方法

以江西省为研究范围，各市为研究的基本单位，对各市的森林土壤有机碳储量和森林植被碳储量规模进行排序，并将规模序号和指标数量进行对数变换，绘制在双对数坐标图上，观察其拟合状况。如果二者存在回归拟合函数关系，即满足式（2），则可以认为该碳储量规模结构符合Zipf定律；反之，论证前的假设不成立，碳储量规模结构不符合Zipf定律。如果符合Zipf定律，就逐点拟合出最优的数学模型，并根据q和R2利用D=R2/q计算出分形维数（D），最后对绘制的图形进行分析。当Zipf维数q>1，分形维数（D）较小时，系统无标度区间内森林土壤和植被碳储量规模结构差异较大，说明无标度区间分形特征形态表现较差；当Zipf维数q<1，分形维数（D）较大时，系统无标度区间内森林资源规模分布相对集中，结构差异性较小，说明分形形态表现较好。据此，来分析江西省森林碳储量空间分布的结构特点。

2.2 数据来源

研究所采用的数据是江西省2001—2005年森林资源二类调查数据，选择的指标是0～20 cm土壤有机碳储量、0～100 cm土壤有机碳储量、森林植被碳储量（表1）。

2.3 数据处理

数据处理采用Excel软件，包括数据排序、图表分析、模型lnP（k）=-qlnk+lnP1的拟合。

3 结果与分析

3.1 森林土壤有机碳储量空间格局分形特征

将江西省各地区的森林土壤有机碳储量数据按照从高到低的顺序进行排序，分别得到0～20 cm和0～100 cm土壤有机碳储量序列。把排在首位的地区等级定为1，排次位的等级定为2，依此类推。江西省等级-森林土壤有机碳储量规模双对数图如图1所示。由图1可知，等级-森林0～20 cm土壤有机碳储量规模的散点图很难用一条直线或曲线拟合，其间出现明显分岔转折点，表明森林土壤有机碳储量规模结构发育不完善，在大的结构体系下存在2个次级结构子系统，即存在无标度区[13]分段情况，也就是双分形特征[19]。从散点图初步可以判定，第6、7点出现断裂，该断裂很可能是分岔点，由式（2），根据已知的P（k）和lnk经过逐一回归，确定两条最佳拟合直线，即第1～6点所代表的系统Ⅰ和第7～11点所代表的系统Ⅱ。通过森林土壤有机碳储量指标能够说明碳储量规模分布符合Zipf定律，并出现双分形特征[16]。从图1和表2拟合情况看，系统Ⅰ中q<1，分形维数（D）较大，前6个点对应的赣州市、吉安市、上饶市、抚州市、宜春市、九江市6个地区0～20 cm土壤碳储量规模差异不大，分布相对集中，分形形态表现较好。系统Ⅱ中q>1，分形维数（D）较小，说明散点图上对应的景德镇市、萍乡市、鹰潭市、新余市、南昌市5个地区0～20 cm土壤碳储量规模结构差异较大，分布相对分散，分形特征形态表现较差。综合图1来看，2个规模结构等级子系统不仅内部结构的分布模式不同，而且子系统之间呈跳跃式突变，分别代表第6点和第7点的九江市和景德镇市，0～20 cm土壤有机碳储量前者为3 774万t，是后者1 192万t的3倍左右。由图2和表2拟合得到的最佳方程可知，在等级-森林0～100 cm土壤有机碳储量规模分布中同样出现了双分形特征和2个子系统，其中系统Ⅰ中q<1，分形维数（D）较大，前6个点对应的赣州市至九江市等6个地区0～100 cm土壤碳储量规模差异不大，分布相对集中，分形形态表现良好。系统Ⅱ中q>1，分形维数（D）较小，说明散点图上对应的景德镇市至南昌市5个地区在0～100 cm土壤碳储量规模结构差异较大，分布相对分散，分形特征形态表现较差。综合图1、图2、Zipf维数和分形维数来看，0～20 cm和0～100 cm土壤有机碳储量规模分布规律相似。

3.2 森林植被碳储量空间格局分形特征

对江西省各地区森林植被碳储量数据按上述方法进行相同处理，绘制在双对数坐标图上，江西省等级-森林植被碳储量规模双对数图如图3所示。由图3可知，森林植被碳储量规模分布与森林土壤有机碳储量规模分布基本一致，等级-森林植被碳储量规模分布在双对数图上也都存在2个子系统，表现出明显的双分形特征，以森林植被碳储量为指标的森林资源规模分布符合Zipf定律。从散点图（图3）和拟合得到的最佳方程（表3）可知，系统Ⅰ中q<1，分形维数（D）较大，表明前6个点对应的赣州市至九江市等6个地区碳储量规模差异不大，分布比较集中，分形形态表现较好。系统Ⅱ中q>1，分形维数（D）较小，说明散点图上对应的景德镇市至南昌市等5个地区在碳储量规模结构上差异较大，分布相对分散，分形特征形态表现较差。

3.3 全省碳储量规模分布情况

综合分析0～20 cm土壤碳储量规模分布、0～100 cm土壤碳储量规模分布以及森林植被碳储量规模分布情况可知，这3个指标的规模分布规律均符合Zipf定律，都出现了双分形特征，在大的结构体系下存在2个次级结构子系统，系统Ⅰ都由赣州市、吉安市、上饶市、抚州市、宜春市、九江市构成，系统Ⅱ则由景德镇市、萍乡市、鹰潭市、新余市、南昌市构成。这2个规模结构等级子系统不仅内部结构的分布模式不同，而且子系统之间呈跳跃式突变，系统Ⅰ中位次最低的城市的碳储量是与之相应的系统Ⅱ中位次最高城市碳储量的2～3倍。这种规模分布情况说明在江西全省范围内，无论是土壤碳储量，还是森林植被碳储量，在资源规模分布上都存在着极大的不均衡性，空间结构差，优化程度不高，亟待进一步完善。

4 结论与讨论

1）森林土壤碳储量和森林植被碳储量规模分布均符合Zipf定律，通过Zipf定律描述碳储量规模的分布规律是可行的。

2）森林土壤碳储量规模分布结构差异性较大，在0～20 cm和0～100 cm土壤碳储量规模分布中都出现了双分形特征，显示出了2个子系统的存在。2个子系统Ⅰ的Zipf维数（q）分别为0.621 4和0.629 3，分形维数（D）分别为1.585 0和1.562 1，说明这2个系统内部结构差异性较小，碳储量分布相对集中，分形形态表现较好。2个子系统Ⅱ的Zipf维数（q）分别为2.250 1和2.221 8，分形维数（D）分别为0.422 0和0.420 6，说明系统内结构差异性较大，分形形态表现较差。2个指标的子系统Ⅰ和Ⅱ之间呈跳跃式突变，系统Ⅰ中各城市0～20 cm和0～100 cm土壤有机碳储量均值分别为6 000万t和15 400万t，远高于系统Ⅱ中的800万t和2 100万t，说明赣州市、吉安市、上饶市、抚州市、宜春市、九江市在江西全省范围内土壤碳储资源优势非常明显。

3）森林植被碳储量规模分布同样结构差异较大，森林植被碳储量规模分布中也都出现了双分形特征，显示了2个子系统的存在。子系统Ⅰ的Zipf维数（q）为0.573 8，分形维数（D）为1.703 4，说明这2个系统内部结构差异性很小，碳储量分布相对集中，分形形态表现较好。子系统Ⅱ的Zipf维数（q）为2.750 4，分形维数（D）为0.345 7，说明系统内结构差异性较大，分形形态表现较差。该指标的子系统Ⅰ和Ⅱ之间同样呈现跳跃式突变，系统Ⅰ中各城市森林植被碳储量均值为3 900万t，远高于系统Ⅱ中的560万t，说明赣州市、吉安市、上饶市、抚州市、宜春市、九江市在江西全省范围内森林植被碳储资源优势同样明显。

4）“十五”期间，南部和西部的赣州、吉安、宜春等地区主要以天然森林为主，碳密度较高，在江西省森林植被碳储量中占主导地位，而中部和北部的城市如萍乡、新余、南昌、鹰潭和景德镇，分布着大量的人工林和次生林，并且以中、幼龄人工林为主，碳密度较低，碳储量少[18]，这应该是造成植被碳储量规模分布出现双分形特征的主要原因。而森林土壤碳储量规模分布中之所以出现双分形特征，很可能与地形差异、维度以及南北自然区域降水量的分布差异等因素有关。

5）综合江西全省森林土壤碳储量和森林植被碳储量规模分布来看，笔者认为通过对南部和西部的赣州、吉安、宜春等地区的天然林进行封山育林，稳定碳储量的同时，大幅增加中部和北部新余、鹰潭、景德镇等地林分中的地带性树种组成，调整现有森林结构和提高现有森林的经营与管理水平，有利于削减这种植被碳储量分布上的不平衡性。并且随着中部和北部地区人工林木的快速生长和成熟，地表凋落物分解及根系分泌物增多，土壤有机质含量也将增大[20，21]，形成巨大的贮碳潜力，同时，森林土壤规模分布结构也将得到进一步优化。

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