教师版三视图

入党申请书时间：2020-07-28 09:37:06

　 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 绝密★启用前 2019-2020 学年度??? 学校 3 月月考卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx 注意事项：

　1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

　第第 I I 卷（选择题) )

　请点击修改第 I 卷的文字说明

　一、单选题 1 ．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

　）

　A．．8π3 B．．16π3 C．． 8π

　D．． 16π

　【答案】B 【解析】

　【分析】

　根据三视图还原出原几何体，然后根据圆柱和圆锥的体积公式，计算出结果. 【详解】

　由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，圆柱和圆锥的底面直径为 4，故底面半径为 2，故底面面积 4 S   ，圆柱和圆锥的高 2 h  ，故组合体的体积1 1613 3V Sh      ，故选：B．

　试卷第 2 页，总 27 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

　【点睛】

　本题考查三视图还原几何体，圆柱体的体积和圆锥体积的求法，属于简单题. 2 ．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的 x 的值是（

　）

　A．． 2

　B．．92 C．．32 D．． 3

　【答案】C 【解析】

　】

　【分析】

　【详解】

　根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为底面是直角梯形的，且一条侧棱与底面垂直，结合三视图中数据，可得1 1 3(1 2) 23 2 2V x        ，即32x  ，故选 C． 3 ．已知一个几何体的三视图如图所示，则被挖去的几何体的侧面积的最大值为（

　）

　A．． 3 

　B．． 2 

　C．． 

　D．．2

　【分析】

　由三视图可知几何体为圆锥内部挖去一个圆柱，设圆柱的高为 h ，底面半径为 r ，根据比例关系得出 , h r 的关系，代入圆柱的侧面积公式，利用二次函数求最值即可. 【详解】

　根据三视图，圆锥内部挖去的部分为一个圆柱，设圆柱的高为 h ，底面半径为 r ，则32 3h r  ，∴332h r  .故32 2 32S rh r r        侧23 (2 ) 3 ( 1) 1 3 r r r             ，当 1 r 时， S 侧的最大值为 3  . 【点睛】

　本题主要考查了三视图，圆柱的侧面积公式，二次函数求最值，属于中档题. 4 ．如图是某几何体的三视图，则它的表面积为（

　）

　 A．． 17 2   9 B．． 17  2 2  11 C．． 17 2   8 D ．2 17  22  11 【答案】A 【解析】

　【分析】

　根据三视图还原几何体为如图所示的四棱锥,由侧棱 PA 底面 ABCD ,利用线面垂直的性质,结合题中数据求出每条侧棱的长度,利用三角形和梯形的面积公式求解即可. 【详解】

　试卷第 4 页，总 27 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 由三视图知,该几何体为如图所示的四棱锥,

　侧棱 PA 底面 ABCD ,由勾股定理可得, 2 2, 2 2, 13, 3 CD PB PD PC     ，在 PCD  中,由余弦定理的推论知,    2 222 2 23 2 2 132cos2 6 2 3 2 2PC CD PDPCDPC CD       , 由同角三角函数的基本关系知, 222 34sin 1 cos 16 6PCD PCD          ，所以 PCD  的面积为1 1 34sin 3 2 2 172 2 6PCDS PC CD PCD        , 因为侧棱 PA 底面 ABCD ,所以 BC PA  , 因为 BC BA  ,所以 BC⊥ 平面 PAB , 由线面垂直的性质知, BC PB  ,即 PBC  为直角三角形, 所以1 12 2 1 22 2PBCS PB BC      , 因为侧棱 PA 底面 ABCD ，所以 , PA AB PA AD   , 所以1 12 2 22 2PABS PA AB       , 1 12 3 32 2PADS PA AD       , 因为底面是以 , BC AD 为底的直角梯形, 所以  1 32 42 2ABCDBC ADS AB     梯形, 所以所求几何体的表面积为 PAD PAB PBC PCD ABCDS S S S S S       梯形, 即 3 2 2 17 4 2 17 9 S         ,

　本题考查三视图还原几何体和棱锥表面积的求解;考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 5 ．多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积为（

　）

　A．．3416

　B．． 17 3432

　C．．178

　D．．2894

　【答案】D 【解析】

　如图所示，由三棱锥的三视图得：该三棱锥的底面是腰长为 6的等腰直角三角形，设该三棱锥的外接球的半径为 , R 球心为 H 则   222 2 2 2174 3 24DH HO OD R R R        

　故则该三棱锥的外接球的表面积为2217 2894 44 4S R        

　选 D 6 ．如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为

　试卷第 6 页，总 27 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

　A．． 12 

　B．． 24 

　C．． 36 

　D．． 48 

　【答案】C 【解析】

　由三视图可得该几何体为底面边长为 4 m 、

　，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为 4，则1 32 4 4 , 23 3m m      ＝，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为2 2 21 4 2 4 32R    ＝，

　故这个几何体的外接球的表面积为24π 36π R  ．故选 C．【点睛】本题考查了由三视图，求体积和表面积，其中根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．属于中档题． 7 ．一锥体的三视图如图所示, 则该棱锥的最长棱的棱长为

　(

　 )

　 A．．

　 B．．

　C．．

　 D．．

　【答案】C 【解析】

　试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面边长为，侧面平面，点在底面的射影为，所以,所以, , ,,底面边长为，所以最长的棱长为，故选 C.

　考点：简单几何体的三视图． 8 ．已知某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各条棱中长度的最大值为（

　）

　A ．5 B．． 29

　C．．41

　D．． 34

　【答案】D 【解析】

　【分析】

　先将三视图还原几何体可知该多面体为四棱锥，再求最长棱．【详解】

　解：由题意可知，该多面体为四棱锥如图，

　由图可知，最长棱为2 2 23 4 3 34 SC    ，

　试卷第 8 页，总 27 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 故选：D．【点睛】

　本题主要考查三视图还原几何体，考查空间想象能力，属于中档题． 9 ．一个棱长为 2 的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（

　）

　A．．92 B ．4 C ．3 D．．3 102 【答案】A 【解析】

　如图所示，正方体被面 ABCD 所截，截面 ABCD 是上底为2 ，下底为 2 2 ，两腰长为 5 的等腰梯形，可得高为 222 3 252 2     . 其面积为 1 3 2 92 2 22 2 2   . 故选 A. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点. 观察三视图并将其“翻

　 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 10 ．如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（（

　）

　A ．2 B．． 3

　C．．32 D ．1 【答案】A 【解析】

　【分析】

　首先确定几何体的空间结构特征，然后结合面积公式求解面积的最大值即可. 【详解】

　由三视图可知其对应的几何体是一个半圆锥，且圆锥的底面半径为 3 r  ，高 1 h ，故俯视图是一个腰长为 2，顶角为 120 的等腰三角形，易知过该几何体顶点的所有截面均为等腰三角形，且腰长为 2，顶角的范围为 0 ,120 ，设顶角为  ，则截面的面积：12 2 sin 2sin2S        ，当 90   时，面积取得最大值 2 .

　试卷第 10 页，总 27 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 故选：A. 【点睛】

　本题主要考查三视图还原几何体的方法，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11 ．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是

　（（

　）

　A．．

　B．．

　C．．

　D．．

　【答案】D 【解析】

　试题分析：依次还原几何体，可以得出 A,B,C 中的三视图是同一个三棱锥，摆放的位置不同而已，而 D 和它们表示的不是同一个三棱锥. 考点：本小题主要考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力. 点评：解决此类问题的关键在于根据三视图还原几何体. 12 ．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（

　）

　A．．

　B．．

　C．．

　D．．【答案】D 【解析】

　正视图和左视图可以得到 A，俯视图可以得到 B 和 D，结合三视图的定义和作法即可得出选项. 【详解】

　正视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，下面是正四棱柱或圆柱，俯视图可知下面是圆柱. 故选：D 【点睛】

　本题考查了三视图还原直观图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 13 ．三棱锥，的三视图如图所示，，，，，，，为在三视图中所对应的点分别为，，，，，则与平面所成角的正切值为（

　）

　A．． B．． C．． D．．

　【答案】C 【解析】

　【分析】

　由三视图先还原几何体，通过线面、面面的垂直关系得出∠OPC 为所求角，即可得出tan∠CPB．【详解】

　由三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，易知，取的中点，则，又底面，所以，从而平面 .又平面，所以平面平面，则的射影为，故与平面所成角的正切值为 . 故选 C.

　试卷第 12 页，总 27 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 【点睛】

　本题考查了三视图的还原，考查了线面垂直，面面垂直的判定，空间角的计算，作出空间角是解题关键，属于中档题． 14 ．某三棱锥 P ABC  的三视图如图所示， P ， A ， B ， C 在三视图中所对应的点分别为 P" ， " A ， " B ， " C ， D 为棱 BC ，的中点，则直线 PD 与 AC 所成角的正切值为（

　）

　A．．733 B．． 2 5

　C．． 3 5

　D．．4 53 【答案】D 【解析】

　【分析】

　由三视图可得几何体的图形，作 DE AB  ，垂足为 E ，连接 PE ，得出 EDP  就是直线 PD 与 AC 所成的角，然后计算可得结果. 【详解】

　三棱锥 P ABC  如图所示，

　作 DE AB  ，垂足为 E ，连接 PE ，易知 EDP  就是直线 PD 与 AC 所成的角.因为PA 平面 ABC ， 4 AB ， 3 AC  ， 4 PA ，所以32DE  ，2 22 4 2 5 PE   .因为 AC  平面 PAB ，所以 DE  平面 PAB ，所以2 5 4 5tan332EDP   . 故选 D

　本题考查三视图以及异面直线所成的角的正切值，考查空间想象能力和运算求解能力,属于较为基础题. 15 ．某三棱锥 P ABC  的三视图如图所示， , , , P A B C 在三视图中所对应的点分别为, , , P A B C     ，则二面角 A BCP   的余弦值为（

　）

　A．．35 B．．45 C．．5 3434 D．．3 3434 【答案】D 【解析】

　【分析】

　由三视图还原该几何体，作 AD BC  ，垂足为 D ，连接 PD ，易知 ADP  就是二面角 A BC P   的平面角. 【详解】

　试卷第 14 页，总 27 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 三棱锥 P ABC  如图所示，作 AD BC  ，垂足为 D ，连接 PD ，易知 ADP  就是二面角 A BC P   的平面角. 因为 PA 平面 ABC ， 4 AB ， 3 AC  ， 4 PA ，所以2 23 4 5 BC   ，125AD  ，所以4 5tan1235ADP   ，从而3 34cos34ADP  . 故选：D 【点睛】

　本题考查三视图以及二面角的余弦值，考察空间想象能力和运算求解能力. 16 ．水平放置的 ABC 的斜二测直观图如图所示, 已知 4 BC   , 3 AC , / /   BC y 轴轴,则 ABC 中 AB 边上的中线的长度为(

　)

　A．．732 B．． 73

　C ．5 D．．52 【答案】A 【解析】

　【分析】

　根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可. 【详解】

　由斜二测画法规则知 AC BC  ,即 ABC 直角三角形,其中 3 AC  , 8 BC ,所以73 AB ,所以 AB 边上的中线的长度为732. 故选：A. 【点睛】

　本题主要考查了斜二测画法前后的图形关系,属于基础题型. 17 ．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形 " " " " O A B C ，且" " 2 O A  ， " " 1 O C  ， " " A B 平行于" y 轴，则这个平面图形的面积为 (

　 )

　A ．5 B．． 5 2

　C．．52 D．．5 22 【答案】B 【解析】

　【分析】

　先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长，从而求得平面图形的面积．【详解】

　解：根据斜二测画法的规则可知：

　水平放置的图形 OABC 为一直角梯形，由题意可知上底为 2 OA ，高为2 2 AB ，下底为 2 1 3 BC    ，  该图形的面积为 13 2 2 2 5 22S      ．故选 B

　【点睛】

　本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，是基础题． 18 ．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“ 今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺. 问积几何？” ，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为 1 ，则该鳖臑的体积为（

　）

　试卷第 16 页，总 27 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

　A．． 6

　B．． 9

　C．． 18

　D．． 27

　【答案】A 【解析】

　【分析】

　根据三视图画出图形，结合三棱锥体积公式求解即可【详解】

　由三视图，画出图形，如图：

　则该鳖臑的体积为：1 13 4 3 63 2V      

　故选：A 【点睛】

　本题考查由三视图求三棱锥的体积，属于基础题 19．．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“ 阳马” ，若某阳马” 的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是为腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该“ 阳马” 的表面积为 (

　 )

　【分析】

　由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积。

　【详解】

　由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；

　正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，  四棱锥的底面是正方形，且边长为 1 ，其中一条侧棱 PD 底面 ABCD ，且侧棱 1 AD ，  四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且2 PA PC  ，

　 四棱锥的表面积为 1 12 2 1 2 1 1 2 1 2 2 22 2SAD SAB ABCDS S S S              底面故选 C

　【点睛】

　本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题． 20 ．我国南北朝时期数学家、天文学家—— 祖暅，提出了著名的祖暅原理：“ 缘幂势即同，则积不容异也”.“ 幂” 是截面积，“ 势” 是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等. 已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“ 幂势同” ，则该不规则几何体的体积为（

　）

　试卷第 18 页，总 27 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

　 A．．483 

　B．． 8  

　C．．283 

　D．． 42

　【答案】B 【解析】

　【分析】

　本道题结合三视图，还原直观图，利用正方体体积，减去半圆柱体积，即可．【详解】

　结合三视图，还原直观图，故3 212 1 2 82V          ，故选 B．【点睛】

　本道题考查了三视图还原直观图以及空间几何体体积计算方法，难度较小． 21．．祖暅原理：“ 幂势既同，则积不容异” ，其中“ 幂” 是截面积，“ 势” 是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积恒相等，则它们的体积相等. 已知一几何体的三视图如图所示，若该几何体与另一不规则几何体满足“ 幂势同” ，则该不规则几何体的体积为（

　）

　 B．． 83

　 C．． 8  

　 D．．283

　【答案】D 【解析】由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个边长为 2 的正方体挖去一个半径为 1，高为 2 的圆锥，从而其体积3 21 22 1 2 83 3V        ，故选 D.

　第第 I II 卷（非选择题) )

　请点击修改第 II 卷的文字说明

　二、填空题 22 ．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的 x 的值是________ ，该几何体的表面积是________.

　【答案】32

　291094

　【解析】

　【分析】

　由三视图还原立体图形为四棱锥 P ABCD  ，由锥体体积公式与已知可求得 x，因为PA 面 ABCD ，即可得到侧面, , PAB PAD PBC 为直角三角形，可得分别的面积，由勾股定义余弦定理同角三角函数关系与任意三角形面积公式可求得PCDS  ，所有的表面面积之和求得答案. 【详解】

　由三视图可还原立体图形为四棱锥 P ABCD  ，所以  1 1 1 31 2 23 3 2 2P ABCD ABCDV S PA x x             因为 PA 面 ABCD ，即可得到侧面 , , PAB PAD PBC 为直角三角形所以221 3 3 1 3 3 3 52 , 2 , 2 ,2 2 2 2 2 2 2 2PAB PADS S PB              

　试卷第 20 页，总 27 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …  2 222 2 21 5 5 3 29 3 51 , 5 , 2 , 2 1 5,2 2 4 2 2 2 2PBCS PC PD CD                      则侧面 PCD 中由余弦定理可知 2225 2952 24 5cos5252 52PDC           ，则24 5 545sin 125 25PDC       ，所以1 5 545 10952 2 25 4PCDS      ，且底面 3ABCDS 

　故表面积3 3 5 109 29 10932 2 4 4 4S     

　故答案为：（1）32；（2）5 10964 【点睛】

　本题考查由三视图还原立体图形求体积和表面积，属于较难题. 23 ．如下图所示, 梯形1 1 1 1D C B A 是水平放置的平面图形 ABCD 的直观图( 斜二测画法),若1 1"1 //AD O y ,1 1 1 1/ / AB C D ,1 1 1 1223AB C D   ,1 11 AD  , 则四边形 ABCD 的面积是__________.

　【答案】5

　【分析】

　根据斜二测画法知，四边形 ABCD 是上底为 2 下底为 3，高1 1 =2AD 的直角梯形，利用梯形公式即可求解. 【详解】

　由直观图知，四边形 ABCD 中，AB / / CD, 2, 3 AB CD   ,因为1 1 1/ / ADO y，所以AD CD  ，且 2 AD ,根据梯形面积公式1(2 3) 2 52s      ，故填 5. 【点睛】

　本题考查直观图，斜二测画法，属于中档题. 解决直观图相关问题，需要利用斜二测画法联系原图形和直观图. 24 ．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，且直角边长为 2 ， ① 则该几何体的体积为________________；； ② 该几何体的外接球的表面积为_________________ ．

　【答案】43.

　12  .

　【解析】

　【分析】

　画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积，然后求解外接球的表面积．【详解】

　由题意可知：几何体是三棱锥，是正方体的一部分，如图：

　试卷第 22 页，总 27 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 几何体的体积为：1 1 42 2 23 2 3     ；三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球的半径为：

　3 ，外接球的表面积为：24 ( 3) 12 S      ．故答案为：43； 12  ．【点睛】

　本题考查的知识点是由三视图求体积以及外接球的表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 25：

　．我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“ 幂势既同则积不容异” ．“ 势” 即是高，“ 幂” 是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线 C 的焦点在 x 轴上，离心率为 5 ，且过点 (2,2 3) ．若直线 0 y  与 6 y  在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕 y 轴旋转一周所得几何体的体积为_________.

　【答案】

　6π

　【解析】

　设双曲线 C 的方程为2 22 21( 0, 0)x ya ba b    ，由题意得2 2 22 254 121caa b ca b   ，解得2 21, 4 a b   ，则双曲线 C 的方程为2214yx   .作直线(0 6) y m m    ，交双曲线C 于点 E ，交渐近线于点 D ，交 y 轴于点 P .则2( , ), ( 1 , )2 4m mD m E m ，∴2 22 2| | 1 14 4m mPE PD      ，∴2 2π | π | PE PD  π  .根据祖暅原理，可得该

　 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 几何体与底面积为 π 、高为 6 的柱体体积相等，故所求体积为 6π . 26 ．某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为 2 的正方形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的最长的棱的长度为_______ ；该几何体的体积为______．．

　【答案】

　 4 23

　【解析】

　【分析】

　画出三视图对应的原图的直观图，根据直观图判断出最长的棱，利用椎体体积公式求得几何体的体积. 【详解】

　由三视图可知，原图为四棱锥，画出图像如下图所示.由图可知， EA 为最长的棱长.由三视图可知12 2, 22AC EC BD    ，故2 210 EA AC EC   ，且四棱锥的体积为21 1 4 22 23 3 3ABCDS EC      .

　试卷第 24 页，总 27 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

　【点睛】

　本小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体边长的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.解题的关键在于根据俯视图为正方形，计算出侧视图的宽，并求得几何体的高.根据的要点是：长对正、高平齐，宽相等.也即俯视图的宽和侧视图的宽是相等的. 27 ．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“ 堑堵” ，已知某“ 堑堵” 的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“ 堑堵” 的体积是______ ，表面积是是______.

　【答案】2

　64 2 

　【解析】

　【分析】

　由三视图还原原几何体，该直三棱柱底面是等腰直角三角形，直角边长为2 ，直三棱柱的高为 2.再由体积与表面积公式求解.

　由三视图还原原几何体如图，

　该直三棱柱底面是等腰直角三角形，直角边长为2 ，直三棱柱的高为 2. 则其体积12 2 2 22V      ；表面积12 2 2 2 2 2 2 2 6 4 22S            . 故答案为：2； 64 2 . 【点睛】

　本题考查由三视图求面积，体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题. 28 ．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ ．

　【答案】16 【解析】

　【分析】

　如图所示，由三视图可知该几何体为四棱锥 P ABCD  ，利用体积计算公式即可得出答案．【详解】

　解：如图所示，由三视图可知该几何体为四棱锥 P ABCD  ．

　试卷第 26 页，总 27 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

　该几何体的体积1 2 44 4 163 2V     ．故答案为 16．【点睛】

　本题考查了四棱锥的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 29 ．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边 BD 为长为 2，，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且 1 AB BC   ，则异面直线 PB 与 CD所成角的正切值是______.

　【答案】22 【解析】

　【分析】

　根据三视图画出空间图形的直观图，取 AD 中点 E，连接 BE ， PE，CE，将 CD 平移到BE，根据异面直线所成角的定义可知 PBE  为异面直线 PB 与 CD 所成角，在直角三角形 PBE  中，求出其正切值即可. 【详解】

　作出直观图如图：

　取 AD 中点 E，连接 BE ， PE，CE，因为 CD / / BE，根据异面直线所成角的定义可知 PBE  为异面直线 PB 与 CD 所成角，由条件知， 1, 2, PE BE PE BE    ， 1 2tan2 2PBE     . 【点睛】

　本题主要考查了异面直线所成的角，空间图形的三视图，考查了空间想象能力、运算能力，属于中档题.

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