摘要：本文主要论述了采用形态学算子在处理有噪声图像的边缘检测的方法。通过与采用经典的边缘检测算子——Sobel、Prewitt、Canny算子的检测图像相比较，本文给出了相关的图像处理结果。结果表明在不同噪声的图像处理，多结构的形态学处理方法在抑制噪声方面都要优于其它几种算子，而且对具有复杂边缘图像的提取也有较好的效果。
关键词：图像处理；边缘提取；形态学；多结构元
中图分类号：TP391文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)17-21502-03
1 前言
在图像处理和模式识别中，边缘检测是重要的研究课题之一，它广泛应用于目标识别、图像分割、遥感、医学图像分析等领域。经典的边缘检测的方法是基于空间运算的，包括对应于一阶微分的剃度法和二阶微分法，借助空域微分算子进行，通过将其模板的大小和元素值的不同有不同的算子，如Sobel算子、Prewitt算子、Canny算子和Krisch算子等。这些方法对噪声敏感，抗噪性差，并且常常会在检测边缘的同时加强噪声，计算量较大，在实际应用当中难以完成复杂背景的边缘提取[1-6]。
数学形态学（mathematical morphology）是建立在严格数学理论上的一门新兴学科，是一种新型的数字图像处理方法和理论。它是图像几何特征分析与处理的有力工具，主要建立在几何学的基础上，用集合论方法定量描述几何结构[3]。基于数学形态学的边缘检测算子不像经典微分算法那样敏感，本文就是对经典算子和形态学算子进行实验，实验证明，形态学的多结构算子能很好的对图像抑制背景噪声，去除各种干扰，提取目标边缘。
2 数学形态学方法及应用
数学形态学包括二值形态学、灰度形态学和彩色形态学。基本变换包括膨胀、腐蚀、开运算和闭运算，它们在二值图像和灰度图像中均各有特点。由这四种运算演化出了开、闭、薄化、厚化等，从而完成复杂的形态变换，本文主要介绍灰度形态学。
令f(x,y)代表输入图像，B(i,j)代表结构元（函数），对于灰度形态学，腐蚀定义为：
膨胀定义为：
Df和DB分别是函数f和B的定义域。
用结构元素B对图像f先进行腐蚀操作，而后进行膨胀操作即为灰度图的开运算，即：
用结构元素B对灰度图像f先进行膨胀操作，而后进行腐蚀操作即为灰度图的闭运算，即：
经典的形态学梯度算子为如下：
3 灰度形态学的边缘检测算子
3.1 抗噪性能的结构算子的改进
形态运算是基于信号的几何特征，利用预先定义的结构元素对图像进行匹配，以达到提取信号、抑制噪声的目的[6]。形态学腐蚀和开运算可以抑制信号中的峰值噪声，而形态学膨胀和闭运算可以抑制信号中的低谷噪声。利用这个特性，将经典的形态学边缘检测算子（3）改造为：
此算子在图像的边缘检测中能一定程度地抑制噪声和保持边缘细节，但由于算法使用的是同一种结构元素，对图像的抗噪性能总是有限的，而且对单一的边缘检测算子很难检测出各种几何形状的边缘。另一方面，单尺度形态梯度算子的性能取决于结构元素B的大小，如果B足够大，则梯度算子的输出等于边缘高度。但是大的结构元素可能造成边缘间的相互影响，从而导致梯度极大值和边缘的不一致。若结构元素过小，则梯度算子虽然具有高空间分辨率，但对斜坡边缘会产生一个很小的输出结果。采用多结构元素的形态学运算可以在滤除不同类型和大小的噪声的同时，还能充分保持图像的各种细节，提取出较理想的边缘图像。将上式子改造为：
3.2 结构元的选取
结构元素是形态学边缘提取的关键，不同结构元素的选择导致运算对不同信息的分析和处理，同时，结构元素也决定了变换使用的数据量。基于形态学的图像边缘检测不仅和使用的边缘检测算子有关，而且，还取决于结构元素的选择。采用较大尺度的结构元素对图像进行处理，能滤除较大尺寸的噪声点，但也会损失更多的图像细节；反之，用较小的尺寸对图像进行处理，能较好的检测出图像的细节，但对尺寸较大的噪声抑制较弱。因此，实际应用中应根据图像特征选择合理的元素尺寸大小。
一般情况下，结构元素的选取必须考虑以下两个原则[6]：（1）结构元素的选取必须在几何上比原图像简单，且有界。其尺寸相对地要小于所考察的物体，当选择性质相同或相似的结构元素时，以选取图像某些特征的极限情况为宜。（2）结构元素的形状最好具有某中凸性，如圆形、十字形、方形等。对非凸性子集，由于连接两点的线段大部分位于集合的外面，故用非凸性子集作为结构元素将得不到更多的有用信息。
4 实验与分析
仿真实验是在Celeron 1.73G的处理器、512MB的内存环境下进行的。实验输入为一加入密度为10%的椒盐噪声污染图像，图1为原图像，图2为污染的图像，图3为经过开-闭（O-C）运算滤波，图4为经过闭-开（C-O）运算滤波，图5为复合形态滤波结果。
从实验中可以看出采用复合形态学滤波器的滤波效果比单独使用开-闭或闭-开滤波器的滤波效果要好，图像灰度变化更接近于原始图像。滤波性能用均方误差（MSE）和图像峰值信噪比（PSNR）来表示，计算结果如表1所示。
通过比较可以看出，复合形态学滤波效果优于开-闭或闭-开滤波。
在采用复合形态学滤波的基础上，接着对图像进行二值化。进行二值化的关键在于阈值的选取，在此采用如下处理方法：通过灰度边缘图像得到直方图，从而获得对应每一灰度级的象素数，然后使用这些象素的灰度的加权平均值作为阈值来进行分割，所用的公式为：
5 结束语
本文列举的图像处理结果说明：采用多结构元灰度形态学边缘检测梯度算法对噪声污染灰度图像进行边缘检测时，能较好地处理噪声抑制和精细边缘提取的矛盾效果优于经典的边缘检测方法。在实际应用种，具有检测精度高、抗噪声能力强、计算简单、便于实现等优点，但是，图像边缘检测的好坏，很大程度取决于结构元的选取。目前并没有成熟的理论依据来对图像选择合适的结构元，有关问题需要有待于进一步研究。
参考文献：
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