摘要：讨论科研项目在课堂教学中的应用，从而有效提高学生的学习积极性和拓展学生的知识面。将数字滤波器设计方面的科研项目应用到“数字信号处理”中的FIR滤波器课堂讲解中，跟踪科研前沿，丰富教学内容，提高教学效果。同时，培养学生对新知识的学习能力，开拓学生的学术视野，提高学生的科学素养。
关键词：数字信号处理；课程教学；科学研究
作者简介：蒋俊正（1983-），男，浙江金华人，桂林电子科技大学信息与通信学院，副教授。（广西 桂林 541004）
基金项目：本文系国家自然科学基金项目（项目编号：61261032）、广西高等教育教学改革工程项目（项目编号：2013JGB150）的研究成果。
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）06-0081-03
由于大规模集成电路、计算机技术、电子技术的飞速发展，信号的数字处理技术取替了传统的模拟信号处理技术，已成为科学研究和工程技术中的一个重要环节，广泛应用于通信、雷达、航空航天、控制、物理、天文、生物医学等领域。另外，“数字信号处理”课程已被确定为电子信息工程、通信工程、测控仪器类等相关本科专业的专业基础课程，是一门理论性和技术性都很强的课程。[1-3]因此，在该课程的教学中，兼顾培养学生对知识的掌握、工程运用和自主研究能力十分重要。[4]然而，单纯地采用教材授课已经无法满足这一要求。
笔者在“数字信号处理”课程[5]授课中，一直致力于将自身的科研项目与课堂教学进行结合。采用一些较为简单的科研示例，对课程知识进行拓展和应用演示，使学生带着学习兴趣去掌握知识，拓展知识面，提高自主学习能力，培养科学研究思维。有限长脉冲响应（finite impulse response，FIR）滤波器广泛应用于信号处理中，是“数字信号处理”课程的核心内容之一。在本文中，笔者以FIR滤波器的优化设计为例，介绍科研项目在课程教学中的应用。
一、科研项目在课程教学中的应用示例
在“数字信号处理”课程的传统授课中，仅仅介绍FIR滤波器设计的一些基本知识，包括FIR滤波器定义、设计性能指标、线性相位FIR滤波器的特点、窗函数法和频率采样法等较为陈旧的方法。
1.传统课堂讲授：窗函数法
本部分将以FIR低通数字滤波器为例来考虑一个物理可实现的滤波器的设计。[5]理想的低通滤波器的幅频响应如图1所示。然而，其不满足佩利-维纳准则，因此是物理不可实现的。通常，一个物理可实现的低通滤波器的归一化幅频响应如图2所示，图中ε和A分别为滤波器在通带和阻带的波动参数，ωp和ωs分别为滤波器的通带和阻带边界频率点。设计目标是使得一个低通FIR数字滤波器的幅频响应尽可能的逼近于理想情况下的幅频响应。换言之，图2中的ε尽可能小，A尽可能大，过渡带宽度ωs-ωp尽可能窄。常用的设计方法为窗函数法，其设计步骤为：
第一步：根据所设计的滤波器类型，选取理想滤波器的冲激响应。理想低通滤波器的冲激响应为：
（1）
第二步：根据所需设计滤波器波动参数的要求，选择恰当的窗函数类型和窗长度参数M，确定窗函数。目前常见的窗函数的表达式、过渡带宽度和最小的阻带衰减值如表1所示。
第三步：确定截取滤波器的冲激响应，
从而得到最终的因果滤波器的冲激响应为：。
下面举例说明上述3个步骤的实现过程：
例如：设计一个低通滤波器满足参数和指标：。由于窗函数法的通带波动和阻带波动是一致的，因此通带波动参数通常不设置。
第一步：计算。因此理想滤波器的冲激响应为：
（2）
第二步：该滤波器的最小阻带衰减值为。因此，根据表1，可以选取海明窗和布莱克曼窗，考虑到过渡带越窄越好的原则，因此选择海明窗。此时，窗函数就确定了，接下来要确定M。设计中，过渡带宽不能超过设计的指定值。因此，，可以，由于M必须是整数，所以。此时可以完整的写出窗函数的表达式：
（3）
第三步：得到，
求得最终的因果滤波器的冲激响应为：
（4）
窗函数法设计所得的滤波器的幅频响应如图3所示。所设计的滤波器的阻带衰减为-52.28dB。
表1 四种固定窗函数的表达式、过渡带宽度和最小的阻带衰减值[5]
窗函数表达式过渡带宽最小阻带衰减
矩形窗 20.9dB
汉宁窗
43.9dB
海明窗
54.5dB
布莱克曼窗
75.3dB
窗函数法是一种较为直观的传统方法，在数字滤波器的设计中发挥了很重要的作用，是一种早期的算法，在最小二乘意义下是最优的，但是存在不可避免的Gibbs现象。给定窗函数和长度后，其滤波器系数就是固定的，过渡带的宽度也是固定的。在许多应用中，有许多的不足。比如，某些应用中滤波器的通带和阻带波动的约束不一致或者期望过渡带很窄情况下，固定窗函数的方法是不适用的。因此，后续也出现了可调节窗，比如Kaiser窗。近年来，通过优化建模的方法来设计滤波器成为了主流方法。根据性能需求，将滤波器的设计问题建模为一个以滤波器系数为变量的优化问题，进而采用鲁棒的优化求解算法来求解问题。下面将结合笔者的科研项目来阐述优化建模的方法，从中可以发现优化建模方法的灵活性。
2.结合科研项目的讲授：优化建模
在实际的工程应用中，传统的设计方法已经不能满足性能需求，从而导致课堂教学的滞后。为此，很有必要跟踪科研发展趋势，将科研项目中FIR滤波器设计方法及时补充到课堂教学中，丰富课堂内容，激发学生学习积极性。接下来，以上述低通滤波器设计为例详细介绍优化建模的设计方法。
第一，明确FIR滤波器的设计指标。根据应用需要，明确设计参数和指标，实际中通常还需要考虑通带的平坦性。
第二，设计问题的数学建模。不失一般性，假设滤波器长度N为奇数，线性相位滤波器应偶对称。其频率响应为：
（5）
式中，
（6）
阻带衰减通常采用控制阻带能量的方式来优化，阻带能量可表示为：
（7）
式中，，上标表示共轭转置，为阻带截止频率。
通常采用切比雪夫控制的方式[6]来抑制通带波动，表示如下：
（8）
式中，为通带截止频率，是所能容许的最大通带波动且。
建立性能指标与滤波器系数h之间的关系后，需要将设计要求归结为一优化问题。在本设计中，要求滤波器具有很高的阻带衰减，并且通带波动控制在内，那么可归结为一带约束的优化问题：
（9）
将式（5）代入式（9），并将频率在均匀离散化，即令。离散化操作可以将式（9）转化为一个有限约束的二次优化问题：
（10）
第三，求解优化问题。优化问题得到后，需要分析其特点，采用何种方法进行求解。优化问题式（10）的目标函数是二次函数且矩阵S是正定的，约束函数是线性函数，因此是二次凸规划问题。它的求解是比较成熟，有许多求解算法，比如Matlab中自带quadprog函数，基于Matlab的Sedumi、CVX软件等。
第四，性能仿真分析。为了验证设计所得的滤波器是否满足设计要求，通过Matlab进行性能仿真。式（10）采用优化问题设计所得的滤波器如图4所示，a图反映滤波器具备线性相位，b图表明其阻带衰减为75.84dB。比较图3和图4，可以看出，相比于固定窗函数设计的滤波器，经过优化建模设计的滤波器具备更高的阻带衰减。在实际应用中，阻带衰减越高，滤波性能越好。
二、科研与教学的关系
科研服务于教学，教学反哺于科研，两者相辅相成，辩证统一。[7]当今，科学技术发展日新月异，新成果、新理论和新应用层出不穷，科研成果丰富的教师参加教学工作，一方面有利于将最新的学科发展和学术成果渗透到课堂中，使得教学内容更加新颖，充分调动学生学习兴趣，提高教学质量。另一方面，教师的科学思维方法和创新思维习惯在教学过程中对学生的科学素质的培养起着潜移默化的影响，培养学生从事科研需具备的提出问题、分析问题和解决问题的能力。在教学活动中，通过不断地启发学生思考、提出问题的过程，也是自己不断学习、不断提高、不断创新的过程，教学相长为科研工作提供更广阔的思路。作为高校教师，应充分认清科研和教学两者之间的关系，科教结合，将科研成果转化为教学资源，通过教学活动提升科研水平。
三、结语
结合科研项目中的实际科研问题，进行启发式的教学，能够不断提高学生的学习积极性。同时，学生学会查阅文献跟踪科研发展趋势，扩展了知识面，初步了解科学研究的思路和具体的方法。后续的工作应该在提倡科研与教学结合的基础上，以教师科研项目为引导，思考如何将科研成果补充到课堂教学中，不断规范结合点的设置，锻炼学生科研思维习惯。
参考文献：
[1]王球生，刘颖异，袁海文，等.数字滤波器设计的“求同存异”教学方法研究[J].中国电力教育，2012，（31）：46-47.
[2]彭启琮.“数字信号处理”课程双语教学的初步实践与探讨[J].电气电子教学学报，2003，25（4）：12-14.
[3]张晓光，王艳芬，王刚，等.基于Matlab WebServer的数字信号处理远程仿真[J].电气电子教学学报，2009，31（1）：86-107.
[4]彭坤明.创新与教育[M].南京：南京师范大学出版社，2000：27-30.
[5]Sanjit K.Mitra.数字信号处理——基于计算机的方法[M].第四版.北京：电子工业出版社，2011.
[6]Peng lang Shui，Jun zheng Jiang，Xiao long Wang.Design of Oversampled Double-Prototype DFT Modulated Filter Banks via Bi-iterative Second-order Cone Program[J].Signal Processing，2010，90（5）：1597-1608.
[7]吴晓雨，殷复莲，杨磊.用科研实践提高本科生教学质量和创新能力[J].中国电力教育，2012，（34）：24-25.
（责任编辑：王意琴）